Olimpia

In quella curva è 2 perchè y=0.
Due punti hanno ordine 2 se la loro ordinata è nulla!

Scusate, volevo dire "un punto ha ordine 2 se la sua ordinata è nulla"!

Esatto, perchè viene la somma di due punti "opposti" di ordinata y=0 il cui risultato è infinito...

Mi confermate che la somma di due punti opposti generici (x,y) e (x,-y) è pure infinito?

Thanks!

io non mi sento in grado di dare conferme su questo corso, cmq sugli appunti (l'unico libro di testo per questo corso, a volte pieni di errori fatti dallo stesso prof per la troppa fretta nello scrivere) ho scritto che p+q con q=-p è uguale a zero (elemento neutro) ossia infinito. Quindi direi di si..

Come si scrive E(Zp) come prodotto di gruppi ciclici? c'e' una regola?
grazie ciao

Qualcuno chiedeva se è possibile determinare la struttura di un gruppo E(Zp) (cioè scrivere E(Zp) come prodotto di gruppi ciclici)

Sinceramente credo, ma è una mia supposizione, che se si dimostra che E(Zp) è un gruppo ciclico di n elementi (trovando un generatore fra tutti i punti della curva), E(Zp) sia isomorfo a Zn

Innanzitutto grazie per la risposta!

....

quindi ord2(x^2 - 2x^2 -2y^2 -1) = 1,vero perchè x^2 - 2x^2 = -x^2 ed essendo x un elemento sempre pari,??quindi anche x^2 e 2x^2 risultano vere.
Anche 2y^2 è pari perchè essendo y dispari è divisibile per 2,rimane dunque solo -1 che è 1 (mod 2)....

Scusa, ,ma x non è per assunzione dispari? Forse non ho afferrato qualche passaggio....

sì, hai ragione, ci sono arrivata desso adesso che avrei anche dovuto calcolare i punti che soddsfano la curva.. nella prima c'è solo l'infinito, giusto?

Mi accodo alla domanda....giusto? :lol:

(P.S.: scusate per la serie di interventi, ma ieri pomeriggio non sono stato a casa, quindi avrei parecchi dubbi arretrati da affrontare... )

In quella curva è 2 perchè y=0.
Due punti hanno ordine 2 se la loro ordinata è nulla!

Scusate, volevo dire "un punto ha ordine 2 se la sua ordinata è nulla"!

Esatto, perchè viene la somma di due punti "opposti" di ordinata y=0 il cui risultato è infinito...

Mi confermate che la somma di due punti opposti generici (x,y) e (x,-y) è pure infinito?

Thanks!

E dell'esercizio 2, sempre foglio 4, quanto ti viene l'ordine di P (punto a)?
A me 9...

L'ordine del punto P=(2,1) a me viene 3.... :lol:

stavo per scrivere la stessa identica cosa

E dell'esercizio 2, sempre foglio 4, quanto ti viene l'ordine di P (punto a)?
A me 9...

L'ordine del punto P=(2,1) a me viene 3.... :lol:

Ragazzi, quando dice scrivere la tavola pitagorica di Zn* significa la tavola dove ho:

1 2 3 4 5 6 7 8 9...

1
2
3
4
5
6
7
8
9
...

e devo fare la moltiplicazione tra riga e colonna vero??

Ma la formula per sommare due punti in una curva ellittica, in particolare per trovare la y è:
y3=-L(x3-x1)-y1
o
y3=L(x3-x1)-y1
(L è Lambda)
perchè sugli appunti ho scritto la prima, mentre guardando su internet ho trovato la seconda

io sugli appunti ho la prima... e quella ho sempre usato...

si rileggendo meglio ho notato che c'è una diversa forma della curva ellittica nei siti che ho visto

Ma la formula per sommare due punti in una curva ellittica, in particolare per trovare la y è:
y3=-L(x3-x1)-y1
o
y3=L(x3-x1)-y1
(L è Lambda)
perchè sugli appunti ho scritto la prima, mentre guardando su internet ho trovato la seconda

io sugli appunti ho la prima... e quella ho sempre usato...

Una domanda: esiste un metodo per scrivere E(Zp) come prodotto di gruppi ciclici?

qualcuno mi odierà per questo che sto per chiedere

Ma la formula per sommare due punti in una curva ellittica, in particolare per trovare la y è:
y3=-L(x3-x1)-y1
o
y3=L(x3-x1)-y1
(L è Lambda)
perchè sugli appunti ho scritto la prima, mentre guardando su internet ho trovato la seconda

dunque,dato che l'avevo detto a Tony Tony Chopper,posto la MIA risoluzione(che non è detto che sia giusta) sull''esercizio 3b foglio 5.

a)Se n=3 mod(4) e x è dispari,allora ord2(x^2-n)=1

Io l'ho dimostrato così, se me lo chiede domani glielo scrivo così,di più non riesco a fare.

n = 2k+1
sostituendo :

2k+1=3 mod 4
k=1 mod 4

per definizione k è primo ed è esprimibile come somma di 2 quadrati,ad esempio x^2 + y^2

Sostituendo a k il valore appena dato e tutto all'interno di n si ha :

n = 2x^2 +2y^2 +1 studiato in n=2k+1 con k=x^2+y^2

quindi ord2(x^2 - 2x^2 -2y^2 -1) = 1,vero perchè x^2 - 2x^2 = -x^2 ed essendo x un elemento sempre pari,quindi anche x^2 e 2x^2 risultano vere.
Anche 2y^2 è pari perchè essendo y dispari è divisibile per 2,rimane dunque solo -1 che è 1 (mod 2)

In definitiva,ho cercato di dimostrare che x^2-n è dispari,perchè è l'unico che mod 2 dà 1 in Z*2.

Io ho provato a dimostrarlo così,se gli va bene ok,altrimenti ciccia...st'esercizio mi ha fatto rosicare parecchio...
A presto,buon Derby!!

ordine in base 2... cioè, quando si annulla modulo 2!

ma alla fine qualcuno ha capito che intende schoof per
[code type="markup"]ordine con pedice 2 di un numero[/code] ?
per capirci quello dell'es 3b e 3c foglio5

Anche se è un semplice esercizietto di calcolo lo posto lo stesso perchè fa capire come usare φ e i suoi trucchetti

Esercizio numero 9, foglio 1
Si consideri la funzione φ di Eulero. Calcolare φ(n) per i seguenti numeri: 100, 10!, 101, 1001, 10001

П = produttoria
φ(n)=n*П(1-1/p) (dove p sono i fattori primi di n)
φ(p)=p-1 se e solo se p è primo
φ(p^k)=p^k-p^(k-1) se e solo se p è primo
φ(p*q)=φ(p)*φ(q) se e solo se MCD(p,q)=1

φ(100)=100(1-1/2)(1-1/5)=40 (aveva fatto anche l'esempio in classe)

10!=10*9*8*7*6*5*4*3*2=7*5^2*3^4*2^8
φ(10!)=φ(7*5^2*3^4*2^8)=φ(7)*φ(5^2)*φ(3^4)*φ(2^8)
=(7-1)*(5^2-5^1)*(3^4-3^3)*(2^8-2*7)
=(6)*(20)*(54)*(128)=829440

φ(101)=101-1=100 (101 è primo)

φ(1001)=φ(7*11*13)=φ(7)*φ(11)*φ(13)=(6)*(10)*(12)=720

φ(10001)=φ(73*137)=φ(73)*φ(137)=(72)*(136)=9792

Qualche idea dell'esercizio 6 del foglio 5???????

Nelle ultime lezioni il prof ha parlato dei numeri congrui a 1 mod 4 e 3 mod 4 ma non riesco a collegarli all'esercizio... :cry:

Esercizio numero 8, foglio 1

Si consideri la funzione φ di Eulero. Dimostrare la formula di Gauss:
Σ φ(d)=n per ogni d: d divisore positivo di n

Due casi:
(a) n numero primo
n è divisibile solo per n e per 1
quindi dobbiamo dimostrare che φ(n)+φ(1)=n
per ipotesi sappiamo che φ(1)=1
inoltre sappiamo che φ(n)=n-1
quindi n=φ(n)+φ(1)=n-1+1=n
dimostrato

(b) n numero composto
Esistono p,q numeri primi tali che n=p*q e MCD(p,q)=1
Quindi n è divisibile per n=p*q, p, q e 1
quindi n=p*q=φ(n)+φ(p)+φ(q)+φ(1)
φ(1)=1
φ(n=p*q)=φ(p)*φ(q) (poichè MCD(p,q)=1)
φ(p)=p-1 (p primo)
φ(q)=q-1 (q primo)
n=p*q=φ(n)+φ(p)+φ(q)+φ(1)=φ(p)*φ(q)+φ(p)+φ(q)+φ(1)
=(p-1)(q-1)+(p-1)+(q-1)+1=p*q-p-q+1+p-1+q-1+1=p*q che è uguale a n per definizione
dimostrato

sì, hai ragione, ci sono arrivata desso adesso che avrei anche dovuto calcolare i punti che soddsfano la curva.. nella prima c'è solo l'infinito, giusto?

E poi, altro dubbio, esercizio 2 foglio 4 punto b, le due curve hanno la stessa A.. perciò i punti in Z3 hanno lo stesso ordine.. no?

secondo me FALSO
la prima curva non ha punti dato che Y^2 viene -1 per qualsiasi x appartenente a Z3.
quale punto ^2 da -1 in Z3?

si certo perchè λ verrà sempre pari a infinito visto che a denominatore nella formula si ha 2y, se y=0 1/y è infinito

Grazie!