Olimpia

E poi, altro dubbio, esercizio 2 foglio 4 punto b, le due curve hanno la stessa A.. perciò i punti in Z3 hanno lo stesso ordine.. no?

Secondo voi, si può fare che se 3P=(0,1) e so che l'ord di (0,1) è 4, allora l'ordine di P è 12(=3*4)?

Non vale per qualsiasi curva che l'ordine del punto (0, 0) è 2???

si certo perchè λ verrà sempre pari a infinito visto che a denominatore nella formula si ha 2y, se y=0 1/y è infinito

Non vale per qualsiasi curva che l'ordine del punto (0, 0) è 2???

In quella curva è 2 perchè y=0.
Due punti hanno ordine 2 se la loro ordinata è nulla!

Scusate, volevo dire "un punto ha ordine 2 se la sua ordinata è nulla"!

Perchè (-0) = 0

In quella curva è 2 perchè y=0.
Due punti hanno ordine 2 se la loro ordinata è nulla!

Esercizio numero 7, Foglio 1

(Numeri di Fermat) Per ogni numero naturale n, si definisce l'ennesimo numero di Fermat come F(n)=2^2^n+1;
(a) Dimostrare: se 2^m+1 è primo, allora m è potenza di 2;
(b) Far vedere che F(n) è primo per 1<=n<=4;

(a) Dobbiamo dimostrare che se 2^m+1 è primo allora m è potenza di 2 ovvero m = 2^k per qualche k
Per assurdo ipotizziamo che m non sia potenza di due, dobbiamo considerare due casi diversi
(a.1) m è un primo diverso da 2
(a.2) m non è primo

(a.1) Possiamo dimostrare che per ogni primo m!=2, 2^m+1 è divisibile per 3, o equivalentemente che 2^m+1 è congruo 0 (mod 3) o che equivalentemente 2^m è congruo -1 (mod 3)
Allora un numero s modulo 3 può essere congruo a -1, 0 o +1
è facile dimostrare che 2^m, per un qualsiasi m (primo o non) non sarà mai congruo a 0 modulo 3
infatti 2^m può essere scritto come prodotto di 2
2^m= 2*..-m volte-..*2
facendo modulo 3 questo prodotto può essere scritto come prodotti di -1
2^m (mod 3) = -1*..-m volte-..*-1=(-1)^m
e per ogni m primo (diverso da due, e quindi m dispari) (-1)^m=-1
quindi abbiamo dimostrato che 2^m+1 (mod 3) è congruo a 0, ma noi abbiamo premesso che 2^m+1 sia primo
(nel caso in cui qualcuno ha il dubbio che 2^m+1 possa essere uguale a 3, rendendo vera la definizione che 2^m+1 (primo) (mod 3) sia congruo a 0, questa è vera solo per m=1 che ovviamente non è un numero primo)
quindi abbiamo dimostrato che per (a.1) ci stavamo sbagliando e che m non possa essere un numero primo diverso da 2

(a.2)
Ora ipotizziamo per assurdo che m sia un numero non primo
Possiamo scrivere che esistono p,q numeri primi
tali che m=p*q AND MCD(p,q)=1

Quindi possiamo scrivere:
F(m)=2^m+1=2^(p+q)+1
e, come per l'esercizio precedente
F(m)=(2^q)^p+1 (mod p) è congruo 3
F(m)=(2^p)^q+1 (mod q) è congruo 3
Per il teorema cinese del resto possiamo scrivere che
F(m)=2^m+1 (mod p*q=m) sia congruo 3
o equivalentemente
2^m-2=2(2^(m-1)-1) (mod m) sia congruo 0
ma questa è vera solo per m primo, e quindi contraddiciamo la nostra ipotesi assurda

Ora avendo dimostrato che le nostre due ipotesi (a.1) e (a.2) sono assurde e contraddicono la premessa, abbiamo dimostrato che
2^m+1 primo implica m è una potenza di 2

(b)
Per far vedere che F(n) è primo per 1<=n<=4, basta fare dei semplici calcoli
F(1) = 2^2^1+1=5
F(2) = 2^2^2+1=17
F(3) = 2^2^3+1=257
F(4) = 2^2^4+1=65537
è facile dimostrare con un Trial Divsion che gli ultimi 2 sono primi

E allora qual è l'ordine del punto (0, 0)? E' 2?

Sì, ha ragione lionel. Non è assolutamente il punto all'infinito

Sei sicuro? Allora l'ordine di (0,0) non è 1???

Il punto (0,0) non è il punto all'infinito!
P-Q = (0,0)
Anche negli esempi di Schoof nella tabella c'era una colonna per infinito ed una per il punto (0,0)!!

E dell'esercizio 2, sempre foglio 4, quanto ti viene l'ordine di P (punto a)?
A me 9...

Ok.. mi sorgeva il dubbio perchè nell'esercizio 1 del foglio 4, mi esce fuori P+(-Q)=0...

vabbeh, grazie!

Sì, anche a me viene così :wink:

Ho concluso che il punto all'infinito non viene solo quando si sommano punti con ordinata opposta.

Ok.. mi sorgeva il dubbio perchè nell'esercizio 1 del foglio 4, mi esce fuori P+(-Q)=0...

vabbeh, grazie!

Scusate, è una cavolata ma non ricordo bene e non riesco a trovarla sugli appunti... se ho un punto P=(x, y), come è il punto -P? E' (x, -y)?

Sì

Scusate, è una cavolata ma non ricordo bene e non riesco a trovarla sugli appunti... se ho un punto P=(x, y), come è il punto -P? E' (x, -y)?

Esercizio numero 6, Foglio 1

(Numeri di Mersenne) Per ogni numero naturale n, si definisce l'ennesimo numero di Mersenne come M(n)=2^n-1
(a) Fattorizzare M(n) per 1<=n<=12;
(b) Dimostrare: se M(n) è primo, allora n è primo;
(c) Far vedere che il viceversa di (b) non vale.

(a)
M(1) =2^1-1 =1
M(2) =2^2-1 =3
M(3) =2^3-1 =7
M(4) =2^4-1 =15=3*5
M(5) =2^5-1 =31
M(6) =2^6-1 =63=3*21=3^2*7
M(7) =2^7-1 =127
M(8) =2^8-1 =255=5*55=5^2*11
M(9) =2^9-1 =511=7*73
M(10) =2^10-1 =1023=3*341=3*11*31
M(11) =2^11-1 =2047=23*89
M(12) =2^12-1 =4095=3^2*5*7*13

(la fattorizzazione di M(11) e M(12) li ho calcolati sul computer, ma come si vede anche a mano M(12) ha una fattorizzazione facile, giusto M(11) poteva far perdere un pò di tempo)

(b) M(n) primo implica n primo
Ipotizziamo per assurdo che n non sia primo (ovviamente assumendo la premessa)
Esistono p,q, numeri interi primi tali che n=p*q AND MCD(p,q)=1
M(n)=2^n-1=2^(p*q)-1
Noi sappiamo che dato un numero primo z:
x^(z-1) (mod z) è congruo a 1
e ovviamente
x^z (mod z) è congruo a x
Quindi
M(n)=2^n-1=2^(p*q)-1=(2^q)^p (mod p) è congruo a 2-1=1 (mod p)
equivalentemente
M(n)=2^n-1=2^(p*q)-1=(2^p)^q (mod q) è congruo a 2-1=1 (mod q)
Per il Teorema Cinese del Resto possiamo scrivere che
M(n) è congruo a 1 (mod p*q)
o equivalentemente
M(n)-1=2^n-1-1=2^n-1=2(2^(n-1)-1) è congruo a 0 (mod p*q=n)
Questo significa che n deve dividere 2(2^(n-1)-1)
ora
2(2^(n-1)-1) congruo a 0 (mod n)
se e solo se 2^(n-1) (mod n) è congruo a 1
è vera se e solo se n è primo, incongruo con quanto detto prima
quindi l'assunzione era sbagliata
e quindi abbiamo dimostrato che
M(n) primo implica n primo

(c) dimostrare che n primo implica M(n) primo
basta trovare un controesempio
11 è un numero primo
M(11)=2047 che non è primo e può essere fattorizzato come 2047=23*89

Allora ES 5 foglio 1: ci tento...
Dividiamo il caso in cui n non sia primo e n primo

Caso 1: Se n non è primo lo possiamo scrivere come n=P*Q con P>1 e Q>1 e ovviamente P e Q minori della radice quadrata di n che è minore di (n-1). Scrivo (n-1)!=1*2*.....*P*Q*...*(n-1) . Siccome ho moltiplicato tutti i numeri per P*Q posso scrivere che (P*Q)divide((n-1)!), ma allora posso dire che n divide ((n-1)!). Quindi (n-1)!=0 (mod n) per n non primo.

Caso 2: n primo: Pongo p=n-1 e prendo tutti gli elementi invertibili di Z* di p e dico che: (p-1)!=1*2*....*p-1. Ma essendo Z*p l'insieme dei numeri invertibili (per ogni elemento x di Z* di p ci sarà un altro elemento y in Z*p tale che x*y=1) posso scrivere che (p-1)!=1. Ricordo che p=n-1 e quindi p-1=n-2 scrivo che (n-1)!=1*2*...*(n-2)*(n-1)=1(n-1).
Posso scrivere che (n-1)! mod n=(n-1) mod n=-1 mod n

Ho cercato di essere il più chiara possibile ma non è facile dopo una giornata persa dietro a sti cavoli di esercizi. A proposito qualcuno sa come si risolve l'esercizio 4 del secondo foglio? Io mi ci sono persa

Ciao ciao

ho capito grazie!
Riguardando gli appunti lo aveva fatto alla prima pseudo-esercitazione, l'unica NON facoltativa di un ciclo di 4 pseudo-esercitazioni che avrebbero dovuto preparare ad un compito NON facoltativo!

Qualche anima pia per caso mi potrebbe mandare in privato la 3a pseudo esercitazione per favore?

Non preoccuparti!!Va bene lo stesso!

OT (per sdrammatizzare): sapete se si trovano ancora biglietti per il derby di stasera?

Good work!