Olimpia

Qualche idea dell'esercizio 6 del foglio 5???????

Nelle ultime lezioni il prof ha parlato dei numeri congrui a 1 mod 4 e 3 mod 4 ma non riesco a collegarli all'esercizio... :cry:

Anche se è un semplice esercizietto di calcolo lo posto lo stesso perchè fa capire come usare φ e i suoi trucchetti

Esercizio numero 9, foglio 1
Si consideri la funzione φ di Eulero. Calcolare φ(n) per i seguenti numeri: 100, 10!, 101, 1001, 10001

П = produttoria
φ(n)=n*П(1-1/p) (dove p sono i fattori primi di n)
φ(p)=p-1 se e solo se p è primo
φ(p^k)=p^k-p^(k-1) se e solo se p è primo
φ(p*q)=φ(p)*φ(q) se e solo se MCD(p,q)=1

φ(100)=100(1-1/2)(1-1/5)=40 (aveva fatto anche l'esempio in classe)

10!=10*9*8*7*6*5*4*3*2=7*5^2*3^4*2^8
φ(10!)=φ(7*5^2*3^4*2^8)=φ(7)*φ(5^2)*φ(3^4)*φ(2^8)
=(7-1)*(5^2-5^1)*(3^4-3^3)*(2^8-2*7)
=(6)*(20)*(54)*(128)=829440

φ(101)=101-1=100 (101 è primo)

φ(1001)=φ(7*11*13)=φ(7)*φ(11)*φ(13)=(6)*(10)*(12)=720

φ(10001)=φ(73*137)=φ(73)*φ(137)=(72)*(136)=9792

ma alla fine qualcuno ha capito che intende schoof per
[code type="markup"]ordine con pedice 2 di un numero[/code] ?
per capirci quello dell'es 3b e 3c foglio5

ordine in base 2... cioè, quando si annulla modulo 2!

dunque,dato che l'avevo detto a Tony Tony Chopper,posto la MIA risoluzione(che non è detto che sia giusta) sull''esercizio 3b foglio 5.

a)Se n=3 mod(4) e x è dispari,allora ord2(x^2-n)=1

Io l'ho dimostrato così, se me lo chiede domani glielo scrivo così,di più non riesco a fare.

n = 2k+1
sostituendo :

2k+1=3 mod 4
k=1 mod 4

per definizione k è primo ed è esprimibile come somma di 2 quadrati,ad esempio x^2 + y^2

Sostituendo a k il valore appena dato e tutto all'interno di n si ha :

n = 2x^2 +2y^2 +1 studiato in n=2k+1 con k=x^2+y^2

quindi ord2(x^2 - 2x^2 -2y^2 -1) = 1,vero perchè x^2 - 2x^2 = -x^2 ed essendo x un elemento sempre pari,quindi anche x^2 e 2x^2 risultano vere.
Anche 2y^2 è pari perchè essendo y dispari è divisibile per 2,rimane dunque solo -1 che è 1 (mod 2)

In definitiva,ho cercato di dimostrare che x^2-n è dispari,perchè è l'unico che mod 2 dà 1 in Z*2.

Io ho provato a dimostrarlo così,se gli va bene ok,altrimenti ciccia...st'esercizio mi ha fatto rosicare parecchio...
A presto,buon Derby!!

qualcuno mi odierà per questo che sto per chiedere

Ma la formula per sommare due punti in una curva ellittica, in particolare per trovare la y è:
y3=-L(x3-x1)-y1
o
y3=L(x3-x1)-y1
(L è Lambda)
perchè sugli appunti ho scritto la prima, mentre guardando su internet ho trovato la seconda

Ma la formula per sommare due punti in una curva ellittica, in particolare per trovare la y è:
y3=-L(x3-x1)-y1
o
y3=L(x3-x1)-y1
(L è Lambda)
perchè sugli appunti ho scritto la prima, mentre guardando su internet ho trovato la seconda

io sugli appunti ho la prima... e quella ho sempre usato...

Una domanda: esiste un metodo per scrivere E(Zp) come prodotto di gruppi ciclici?

Ma la formula per sommare due punti in una curva ellittica, in particolare per trovare la y è:
y3=-L(x3-x1)-y1
o
y3=L(x3-x1)-y1
(L è Lambda)
perchè sugli appunti ho scritto la prima, mentre guardando su internet ho trovato la seconda

io sugli appunti ho la prima... e quella ho sempre usato...

si rileggendo meglio ho notato che c'è una diversa forma della curva ellittica nei siti che ho visto

Ragazzi, quando dice scrivere la tavola pitagorica di Zn* significa la tavola dove ho:

1 2 3 4 5 6 7 8 9...

1
2
3
4
5
6
7
8
9
...

e devo fare la moltiplicazione tra riga e colonna vero??

E dell'esercizio 2, sempre foglio 4, quanto ti viene l'ordine di P (punto a)?
A me 9...

L'ordine del punto P=(2,1) a me viene 3.... :lol:

E dell'esercizio 2, sempre foglio 4, quanto ti viene l'ordine di P (punto a)?
A me 9...

L'ordine del punto P=(2,1) a me viene 3.... :lol:

stavo per scrivere la stessa identica cosa

In quella curva è 2 perchè y=0.
Due punti hanno ordine 2 se la loro ordinata è nulla!

Scusate, volevo dire "un punto ha ordine 2 se la sua ordinata è nulla"!

Esatto, perchè viene la somma di due punti "opposti" di ordinata y=0 il cui risultato è infinito...

Mi confermate che la somma di due punti opposti generici (x,y) e (x,-y) è pure infinito?

Thanks!

sì, hai ragione, ci sono arrivata desso adesso che avrei anche dovuto calcolare i punti che soddsfano la curva.. nella prima c'è solo l'infinito, giusto?

Mi accodo alla domanda....giusto? :lol:

(P.S.: scusate per la serie di interventi, ma ieri pomeriggio non sono stato a casa, quindi avrei parecchi dubbi arretrati da affrontare... )

Innanzitutto grazie per la risposta!

....

quindi ord2(x^2 - 2x^2 -2y^2 -1) = 1,vero perchè x^2 - 2x^2 = -x^2 ed essendo x un elemento sempre pari,??quindi anche x^2 e 2x^2 risultano vere.
Anche 2y^2 è pari perchè essendo y dispari è divisibile per 2,rimane dunque solo -1 che è 1 (mod 2)....

Scusa, ,ma x non è per assunzione dispari? Forse non ho afferrato qualche passaggio....

Qualcuno chiedeva se è possibile determinare la struttura di un gruppo E(Zp) (cioè scrivere E(Zp) come prodotto di gruppi ciclici)

Sinceramente credo, ma è una mia supposizione, che se si dimostra che E(Zp) è un gruppo ciclico di n elementi (trovando un generatore fra tutti i punti della curva), E(Zp) sia isomorfo a Zn

In quella curva è 2 perchè y=0.
Due punti hanno ordine 2 se la loro ordinata è nulla!

Scusate, volevo dire "un punto ha ordine 2 se la sua ordinata è nulla"!

Esatto, perchè viene la somma di due punti "opposti" di ordinata y=0 il cui risultato è infinito...

Mi confermate che la somma di due punti opposti generici (x,y) e (x,-y) è pure infinito?

Thanks!

io non mi sento in grado di dare conferme su questo corso, cmq sugli appunti (l'unico libro di testo per questo corso, a volte pieni di errori fatti dallo stesso prof per la troppa fretta nello scrivere) ho scritto che p+q con q=-p è uguale a zero (elemento neutro) ossia infinito. Quindi direi di si..

Come si scrive E(Zp) come prodotto di gruppi ciclici? c'e' una regola?
grazie ciao

(nd. E: Y^2=x^3-X) = {P tale che P+P=infinito}.
Dimostrare che E[2] è un gruppo di ordine 4 isomorfo a Z2 x Z2

tralasciando la dimostrazione, che non ho fatto ma non credo sia molto difficile
E[2] dovrebbe essere uguale a {infinito, (0,0), (1,0), (-1,0)}
ha 4 elementi quindi ha ordine 4

non c'è nessuno di questi 4 elementi che è un generatore (quindi E[2] non è un gruppo ciclico) o equivalentemente non c'è nessuno di questi elementi che ha ordine 4, infatti hanno tutti ordine 2 o 1 (i.e. infinito)
però possiamo prendere i sottogruppi
A = {infinito, (0,0)}
e
B = {infinito, (1,0)}
e si può facilmente dimostrare che A x B = E[2] (infatti (0,0)+(1,0)=(-1,0))
che sono due gruppi ciclici isomorfi a Z2
quindi
E[2] è isomorfo a Z2 x Z2

Come si scrive E(Zp) come prodotto di gruppi ciclici? c'e' una regola?

Schoof l'ha fatto semplicemente con la tabella della somma dei punti e la tabella di Z2, dato che gli elementi neutri dei 2 gruppi sono nelle "stesse posizioni", i due gruppi sono isomorfi...

(nd. E: Y^2=x^3-X) = {P tale che P+P=infinito}.
Dimostrare che E[2] è un gruppo di ordine 4 isomorfo a Z2 x Z2

tralasciando la dimostrazione, che non ho fatto ma non credo sia molto difficile
E[2] dovrebbe essere uguale a {infinito, (0,0), (1,0), (-1,0)}
ha 4 elementi quindi ha ordine 4

non c'è nessuno di questi 4 elementi che è un generatore (quindi E[2] non è un gruppo ciclico) o equivalentemente non c'è nessuno di questi elementi che ha ordine 4, infatti hanno tutti ordine 2 o 1 (i.e. infinito)
però possiamo prendere i sottogruppi
A = {infinito, (0,0)}
e
B = {infinito, (1,0)}
e si può facilmente dimostrare che A x B = E[2] (infatti (0,0)+(1,0)=(-1,0))
che sono due gruppi ciclici isomorfi a Z2
quindi
E[2] è isomorfo a Z2 x Z2

Grazie!
Pensavo ci fosse una formula o qualcosa del genere perche' negli appunti ho visto che lui lo scriveva direttamente senza fare questi calcoli..
Invece se bisogna esprimere i gruppi come prodotto di un gruppo ciclico tipo es 8 Foglio 2 anche voi fate cosi':
1) Se p primo Zp*=Zp-1
2) Se p non p primo scrivo Zp*=Zi con tutte le i che hanno mcd =1 ossia primi tra loro (es Z24*=Z8*xZ3*)
3) nella formula precedente i Zpi primi diventano Zp-1 mentre quelli non primi devo vedere che succede...
Ad esempio Z8* non è ciclico ed ha 4 elementi quindi lo scrivo come prodotto di gruppi ciclici il cui prodotto delle cardinalità mi dia 4 ossia Z2xZ2??? Non è che ho capito benissimo quest'ultimo passaggio... Forse bisogna lavorare come hai fatto tu per la curva ellittica?

grazie ciao!

Mi confermate che la somma di due punti opposti generici (x,y) e (x,-y) è pure infinito?

Mmmh... mi sa che la somma di due generici punti che hanno la stessa ascissa è l'infinito, anche se le ordinate non sono opposte...

Ad esempio:
P=(x, y1) Q=(x, y2) con y2<>y1

hai lambda=(y1-y2)/(x-x)=(y1-y2)/0=infinito

dato che sia x3 che y3 sono direttamente proporzionali a lambda, P+Q=(infinito, infinito)...