Studiatevi il significato di una funzione di Lyapunov per un sistema non lineare. Sta sul Ruberti. Lo scorso anno ha fatto una domanda del genere

ti ringrazio dell'aiuto

scusa ma forme implicite ed esplicite dei sistemi a tempo discreto e continuo? ma li ha stessati perche non hanno risposto o perche non hanno risposto come voleva lui?

Voleva la Risposta Completa nel tempo.

Poi anke un altra domanda sulle Proprietà della Linearità.


Cmq i ragazzi non erano molto preparati come non lo ero io, il fatto è ke lui ti fa una domanda, poi appena cominci a tentennare sembra ke ti aiuti facendone un altra sempre sullo stesso argomento, ma in realtà ti porta in un vikolo ceco, dove poi tutti facevano scena muta. quindi devi essere sikuro e magari con un pò di kulo ti fa la domanda dove sei piu preparato.

Cmq cerca di non farlo parlare, perke sennò ti mette al muro, se ce la fai vai per la tua strada senza fermarti.

scusa ma forme implicite ed esplicite dei sistemi a tempo discreto e continuo? ma li ha stessati perche non hanno risposto o perche non hanno risposto come voleva lui?

qualcuno ha fatto l'orale con grasselli? cosa chiede??

Risposta Permanente con ingresso cosinusoidale.

Stabilità Asintotica.

Significati delle matrici sopratutto quella di transizione dello stato, formule implicite ed esplicite.



Io dovevo andarci il pomeriggio, ma non ci sono andato, la mattina li aveva stekkati tutti!

Cmq kiedo un appello straordinario nel prossimo ciclo, se c'è qualcuno ke si vuole aggregare, mi faccia sapere!!

qualcuno ha fatto l'orale con grasselli? cosa chiede??

Può accadere che tutti i modi naturali di un sistema lineare siano convergenti a zero e che lo stato di equilibrio xe = 0 di
esso non sia asintoticamente stabile?
FALSO: in un sistema lineare tutti i modi hanno le stesse proprietà di stabilità dell'origine. tutti i modi convergenti a zero penso equivalga a dire che xe=0 è attrattivo, che per un sistema lineare implica anche la stabilità semplice e quindi la stabilità asintotica

Può accadere per un sistema lineare che lo stato di equilibrio xe = 0 sia asintoticamente stabile e che un modo naturale del sistema sia sinusoidale?
FALSO: in un sistema lineare se xe = 0 è stabile asintoticamente anche il sistema lo è, quindi vale le condizione re[pi]<0 o |pi|]<1 per tutti i poli pi (attrattività sistema lineare), quindi i modi sono convergenti a zero e non sono ammessi quelli limitati (un modo sinusoidale equivale a un polo SEMPLICE con parte reale nulla o modulo = 1). se dalla domanda togli "asintoticamente" i modi limitati sono ammessi in un sistema stabile semplicemente e la frase diventa vera

Qualcuno ha risposto a questa domanda:
Può accadere per un sistema lineare che lo stato di equilibrio xe = 0 sia asintoticamente stabile e che un modo naturale del
sistema sia sinusoidale?

Puµo accadere che tutti i modi naturali di un sistema lineare siano convergenti a zero e che lo stato di equilibrio xe = 0 di
esso non sia asintoticamente stabile?

Vero o Falso?
Qualcuno sa darmi una risposta?

Chi piu ne ha piu ne metta di domande di teoria...diamoci una mano...

concludi che il sistema lineare è asintoticamente stabile quindi xe è asintoticamente stabile per il sistema nonlineare. fine

a ok semplice, grazie!

concludi che il sistema lineare è asintoticamente stabile quindi xe è asintoticamente stabile per il sistema nonlineare. fine

Tempo Discreto
il sistema non lineare è:
http://robot2.disp.uniroma2.it/~grassel ... ero2_1.pdf

1)verificare se Xe=|0 1|' è uno stato di eq.

allora sostituisco Xe e verifico che il sistema sia verifato, OK

2)applico la linearizzazione
Mi calcolo la jacobiana e ottengo
| 0 0 |
| 0 1/3 |

quindi gli autovalori sono s=0 e s=1/3
che per tempo discreto essendo in modulo minori di 1 la condizione è verificata.

Ora come si prosegue con la linearizzazione?

Non ho seguito le lezioni quindi ora sto un pò nella kakka.


Mi aiutate per favore?!?

Parlo del Esercizio 4 Traccia 1 del 2°esonero

Tempo Discreto
il sistema non lineare è:
http://robot2.disp.uniroma2.it/~grassel ... ero2_1.pdf

1)verificare se Xe=|0 1|' è uno stato di eq.

allora sostituisco Xe e verifico che il sistema sia verifato, OK

2)applico la linearizzazione
Mi calcolo la jacobiana e ottengo
| 0 0 |
| 0 1/3 |

quindi gli autovalori sono s=0 e s=1/3
che per tempo discreto essendo in modulo minori di 1 la condizione è verificata.

Ora come si prosegue con la linearizzazione?

Non ho seguito le lezioni quindi ora sto un pò nella kakka.


Mi aiutate per favore?!?

il vettore si trova risolvendo ker(A) o ker(A-I): riduci a scala la matrice con Gauss, calcoli il rango, assegni gli (n-rk(matrice)) parametri liberi alle variabili (pivot), trovi il valore delle veriabili restanti in base a quelle assegnate

per un sistema lineare a tempo continuo, con ingresso nullo, l'equazione che descrive gli stati di equilibrio è Ax = 0; questo avviene se x = 0 (l'origine è sempre uno stato di equilibrio) o se la matrice A è singolare (ammette autovalore nullo): in questo caso, det(A) = 0, l'insieme degli stati di equilibrio (sottospazio dello spazio di stato) X = Sol(A|0) = ker(A);

per un sistema lineare a tempo discreto, con ingresso nullo, l'equazione che descrive gli stati di equilibrio è Ax = x quindi (A-I)x = 0; questo avviene se x = 0 (l'origine è sempre uno stato di equilibrio) o se la matrice (A-I) è singolare (ammette autovalore nullo): in questo caso, det(A-I) = 0, l'insieme degli stati di equilibrio (sottospazio dello spazio di stato) X = Sol(A-I|0) = ker(A-I);

nel caso di questa matrice ad esempio di un sitema lineare

1 0 3
0 1 2
1 2 0

siccome il determinante viene

(s-1)(s^2-s-7)

il sistema è instabile


trovo il vettore soluzione del sistema che è
3
2
-1
epoi ?

Provo a risponderti io, ma non lo prendere come oro colato.
Qui stiamo parlando di sistemi lineari quindi:
A tempo continuo se hai detA = 0 allora Xe non è l'unico stato di equilibrio, ma ve ne sono infiniti (xkè nei sistemi lineari se hai + di 1 stato di eq vuol dire che ne hai infiniti). Essi sono tutti stab. semplici se Xe anche lo è e tutti instabili se Xe neanche lo è. Se invece DetA != 0 allora Xe è l'unico stato di equilibrio.
Per i sistemi a tempo discretto il discorso è il medesimo solo che invece che considerare detA=0 devi considerare det(A-[lambda]I) = 0.

Non sono sicuro al 101% d quello che ho scritto se qualcuno volesse confermare o smentire...

qua :wink:

si, ma come si trova il vettore?
facendo come ho detto io?
perke con il mio sistema mi viene ke il vettore è:
0
0
0

e non:
3
2
-1

Un mio amico, fonte attendibile che ha preso 29,5 al secondo esonero, mi ha detto che per un sistema a tempo continuo, per vedere se ci sono altri stati di equilibrio(in particolare come chiedeva nella domanda di teoria del primo esercizio della traccia 4), se il determinante della matrice A è diverso da zero, x(e) è l'unico stato di equilibrio, altrimenti se il determinante è uguale a zero, esiste un sottospazio di stati di equilibrio che dovrebbe equivalere all'immagine o allo span della matrice A.

nel caso di questa matrice ad esempio di un sitema lineare

1 0 3
0 1 2
1 2 0

siccome il determinante viene

(s-1)(s^2-s-7)

il sistema è instabile


trovo il vettore soluzione del sistema che è
3
2
-1
epoi ?

Provo a risponderti io, ma non lo prendere come oro colato.
Qui stiamo parlando di sistemi lineari quindi:
A tempo continuo se hai detA = 0 allora Xe non è l'unico stato di equilibrio, ma ve ne sono infiniti (xkè nei sistemi lineari se hai + di 1 stato di eq vuol dire che ne hai infiniti). Essi sono tutti stab. semplici se Xe anche lo è e tutti instabili se Xe neanche lo è. Se invece DetA != 0 allora Xe è l'unico stato di equilibrio.
Per i sistemi a tempo discretto il discorso è il medesimo solo che invece che considerare detA=0 devi considerare det(A-[lambda]I) = 0.

Non sono sicuro al 101% d quello che ho scritto se qualcuno volesse confermare o smentire...

qua :wink:

la risposta l ha data web qua sopra

gabbro l ultima parte dell esercizio uno come si faecva a trovare un altro stato d'equilibrio? :roll:
nn mi viene in mente come fare..

Se non sbaglio il sistema era a tempo continuo... bastava applicare la definizione di stato d'equilibrio, ponendo il sistema che derivavi dalla matrice uguale a 0 (se non ricordo male ho fatto così) e veniva fuori un vettore.

e poi che cosa si faceva?

qualche anima pia che mi risponde? ops:

Cioè in questo eserczio: Tempo continuo
| -1 4 0 |
A=| 0 2 -1 |
| 0 -2 1 |

| -x1+4x2=0
| 2y-z=0
| -2y-z=0

si fa cosi?
trovo x y z imponendo in questo caso x=1 e ho:
| 1 |
| 1/4 |
| 1 |
cosi?

ed ora ? per la stabilità?