TEN 2007

arale ha scritto:

E poi, altro dubbio, esercizio 2 foglio 4 punto b, le due curve hanno la stessa A.. perciò i punti in Z3 hanno lo stesso ordine.. no?

secondo me FALSO
la prima curva non ha punti dato che Y^2 viene -1 per qualsiasi x appartenente a Z3.
quale punto ^2 da -1 in Z3?

sì, hai ragione, ci sono arrivata desso adesso che avrei anche dovuto calcolare i punti che soddsfano la curva.. nella prima c'è solo l'infinito, giusto?

Esercizio numero 8, foglio 1

Si consideri la funzione φ di Eulero. Dimostrare la formula di Gauss:
Σ φ(d)=n per ogni d: d divisore positivo di n

Due casi:
(a) n numero primo
n è divisibile solo per n e per 1
quindi dobbiamo dimostrare che φ(n)+φ(1)=n
per ipotesi sappiamo che φ(1)=1
inoltre sappiamo che φ(n)=n-1
quindi n=φ(n)+φ(1)=n-1+1=n
dimostrato

(b) n numero composto
Esistono p,q numeri primi tali che n=p*q e MCD(p,q)=1
Quindi n è divisibile per n=p*q, p, q e 1
quindi n=p*q=φ(n)+φ(p)+φ(q)+φ(1)
φ(1)=1
φ(n=p*q)=φ(p)*φ(q) (poichè MCD(p,q)=1)
φ(p)=p-1 (p primo)
φ(q)=q-1 (q primo)
n=p*q=φ(n)+φ(p)+φ(q)+φ(1)=φ(p)*φ(q)+φ(p)+φ(q)+φ(1)
=(p-1)(q-1)+(p-1)+(q-1)+1=p*q-p-q+1+p-1+q-1+1=p*q che è uguale a n per definizione
dimostrato

Qualche idea dell'esercizio 6 del foglio 5???????

Nelle ultime lezioni il prof ha parlato dei numeri congrui a 1 mod 4 e 3 mod 4 ma non riesco a collegarli all'esercizio...

Anche se è un semplice esercizietto di calcolo lo posto lo stesso perchè fa capire come usare φ e i suoi trucchetti

Esercizio numero 9, foglio 1
Si consideri la funzione φ di Eulero. Calcolare φ(n) per i seguenti numeri: 100, 10!, 101, 1001, 10001

П = produttoria
φ(n)=n*П(1-1/p) (dove p sono i fattori primi di n)
φ(p)=p-1 se e solo se p è primo
φ(p^k)=p^k-p^(k-1) se e solo se p è primo
φ(p*q)=φ(p)*φ(q) se e solo se MCD(p,q)=1

φ(100)=100(1-1/2)(1-1/5)=40 (aveva fatto anche l'esempio in classe)

10!=10*9*8*7*6*5*4*3*2=7*5^2*3^4*2^8
φ(10!)=φ(7*5^2*3^4*2^=φ(7)*φ(5^2)*φ(3^4)*φ(2^
=(7-1)*(5^2-5^1)*(3^4-3^3)*(2^8-2*7)
=(6)*(20)*(54)*(128)=829440

φ(101)=101-1=100 (101 è primo)

φ(1001)=φ(7*11*13)=φ(7)*φ(11)*φ(13)=(6)*(10)*(12)=720

φ(10001)=φ(73*137)=φ(73)*φ(137)=(72)*(136)=9792

ma alla fine qualcuno ha capito che intende schoof per?
per capirci quello dell'es 3b e 3c foglio5