TEN 2007

COM_KUNENA_LIB_BBCODE_QUOTE_NON_EXISTANT_USER ha scritto:

lionel ha scritto:

lionel ha scritto:

In quella curva è 2 perchè y=0.
Due punti hanno ordine 2 se la loro ordinata è nulla!

Scusate, volevo dire "un punto ha ordine 2 se la sua ordinata è nulla"!

Esatto, perchè viene la somma di due punti "opposti" di ordinata y=0 il cui risultato è infinito...

Mi confermate che la somma di due punti opposti generici (x,y) e (x,-y) è pure infinito?

Thanks!

io non mi sento in grado di dare conferme su questo corso, cmq sugli appunti (l'unico libro di testo per questo corso, a volte pieni di errori fatti dallo stesso prof per la troppa fretta nello scrivere) ho scritto che p+q con q=-p è uguale a zero (elemento neutro) ossia infinito. Quindi direi di si..

Come si scrive E(Zp) come prodotto di gruppi ciclici? c'e' una regola?
grazie ciao

Smoking_Man ha scritto:

COM_KUNENA_LIB_BBCODE_QUOTE_NON_EXISTANT_USER ha scritto:

Come si scrive E(Zp) come prodotto di gruppi ciclici? c'e' una regola?
grazie ciao

ho appena scritto la mia idea

aggiungo visto che ci sono portando un esempio
Esercizio numero 6, foglio 4

(c)Sia E[2] (nd. E: Y^2=x^3-X) = {P tale che P+P=infinito}.
Dimostrare che E[2] è un gruppo di ordine 4 isomorfo a Z2 x Z2

tralasciando la dimostrazione, che non ho fatto ma non credo sia molto difficile
E[2] dovrebbe essere uguale a {infinito, (0,0), (1,0), (-1,0)}
ha 4 elementi quindi ha ordine 4

non c'è nessuno di questi 4 elementi che è un generatore (quindi E[2] non è un gruppo ciclico) o equivalentemente non c'è nessuno di questi elementi che ha ordine 4, infatti hanno tutti ordine 2 o 1 (i.e. infinito)
però possiamo prendere i sottogruppi
A = {infinito, (0,0)}
e
B = {infinito, (1,0)}
e si può facilmente dimostrare che A x B = E[2] (infatti (0,0)+(1,0)=(-1,0))
che sono due gruppi ciclici isomorfi a Z2
quindi
E[2] è isomorfo a Z2 x Z2

Smoking_Man ha scritto:

Come si scrive E(Zp) come prodotto di gruppi ciclici? c'e' una regola?

Schoof l'ha fatto semplicemente con la tabella della somma dei punti e la tabella di Z2, dato che gli elementi neutri dei 2 gruppi sono nelle "stesse posizioni", i due gruppi sono isomorfi...

Zalantos ha scritto:

Smoking_Man ha scritto:

COM_KUNENA_LIB_BBCODE_QUOTE_NON_EXISTANT_USER ha scritto:

Come si scrive E(Zp) come prodotto di gruppi ciclici? c'e' una regola?
grazie ciao

ho appena scritto la mia idea

aggiungo visto che ci sono portando un esempio
Esercizio numero 6, foglio 4

(c)Sia E[2] (nd. E: Y^2=x^3-X) = {P tale che P+P=infinito}.
Dimostrare che E[2] è un gruppo di ordine 4 isomorfo a Z2 x Z2

tralasciando la dimostrazione, che non ho fatto ma non credo sia molto difficile
E[2] dovrebbe essere uguale a {infinito, (0,0), (1,0), (-1,0)}
ha 4 elementi quindi ha ordine 4

non c'è nessuno di questi 4 elementi che è un generatore (quindi E[2] non è un gruppo ciclico) o equivalentemente non c'è nessuno di questi elementi che ha ordine 4, infatti hanno tutti ordine 2 o 1 (i.e. infinito)
però possiamo prendere i sottogruppi
A = {infinito, (0,0)}
e
B = {infinito, (1,0)}
e si può facilmente dimostrare che A x B = E[2] (infatti (0,0)+(1,0)=(-1,0))
che sono due gruppi ciclici isomorfi a Z2
quindi
E[2] è isomorfo a Z2 x Z2

Grazie!
Pensavo ci fosse una formula o qualcosa del genere perche' negli appunti ho visto che lui lo scriveva direttamente senza fare questi calcoli..
Invece se bisogna esprimere i gruppi come prodotto di un gruppo ciclico tipo es 8 Foglio 2 anche voi fate cosi':
1) Se p primo Zp*=Zp-1
2) Se p non p primo scrivo Zp*=Zi con tutte le i che hanno mcd =1 ossia primi tra loro (es Z24*=Z8*xZ3*)
3) nella formula precedente i Zpi primi diventano Zp-1 mentre quelli non primi devo vedere che succede...
Ad esempio Z8* non è ciclico ed ha 4 elementi quindi lo scrivo come prodotto di gruppi ciclici il cui prodotto delle cardinalità mi dia 4 ossia Z2xZ2??? Non è che ho capito benissimo quest'ultimo passaggio... Forse bisogna lavorare come hai fatto tu per la curva ellittica?

grazie ciao!

COM_KUNENA_LIB_BBCODE_QUOTE_NON_EXISTANT_USER ha scritto:

Mi confermate che la somma di due punti opposti generici (x,y) e (x,-y) è pure infinito?

Mmmh... mi sa che la somma di due generici punti che hanno la stessa ascissa è l'infinito, anche se le ordinate non sono opposte...

Ad esempio:
P=(x, y1) Q=(x, y2) con y2<>y1

hai lambda=(y1-y2)/(x-x)=(y1-y2)/0=infinito

dato che sia x3 che y3 sono direttamente proporzionali a lambda, P+Q=(infinito, infinito)...

Smoking_Man ha scritto:

Invece se bisogna esprimere i gruppi come prodotto di un gruppo ciclico tipo es 8 Foglio 2 anche voi fate cosi':
1) Se p primo Zp*=Zp-1
2) Se p non p primo scrivo Zp*=Zi con tutte le i che hanno mcd =1 ossia primi tra loro (es Z24*=Z8*xZ3*)
3) nella formula precedente i Zpi primi diventano Zp-1 mentre quelli non primi devo vedere che succede...
Ad esempio Z8* non è ciclico ed ha 4 elementi quindi lo scrivo come prodotto di gruppi ciclici il cui prodotto delle cardinalità mi dia 4 ossia Z2xZ2??? Non è che ho capito benissimo quest'ultimo passaggio... Forse bisogna lavorare come hai fatto tu per la curva ellittica?

Per Z8*, devi vedere la cardinalità phi(Z8*), ed è 4.. dato che nessun elemento ha ordine maggiore a 2 (lo controlli in un attimo...), sicuramente è Z2xZ2...