ragazzi scrivo un pò di domandine teoriche...chi mi sa rispondere?

1. se un sistema lineare con ingresso nullo ha più di uno stato di equilibrio, tali stati di equilibrio sono certamente tutti stabili. Vero o falso?

2. Un sistema non lineare può avere 3 stati di equilibrio per lo stesso ingresso costante, di cui uno globalmente stabile, uno stabile (non asintoticamente) e uno instabile. Vero o falso?

3. Se in un sistema lineare con u (segnato) = 0 lo stato di equilibrio xe = 0 è stabile, per u (segnato) = 0 ci possono essere altri stati di equilibrio instabili. Vero o falso?

4. Un sistema non lineare può avere 2 stati di equilibrio per lo stesso ingresso costante, entrambi asintoticamente stabili. Vero o falso?

5. Se in un sistema lineare con u (segnato) =0 lo stato di equilibrio xe=0 è stabile ma non asintoticamente, ci sono certamente altri stati di equilibrio con u (segnato) =0. Vero o falso?

6. Se un sistema qualunque (anche non lineare) ha infiniti stati di equilibrio per lo stesso ingresso costante, è impossibile che siano tutti stabili. Vero o falso?

7. Se un sistema lineare con ingresso costante ha infiniti stati di equilibrio, essi sono necessariamente o tutti instabili o tutti stabili (ma non asintoticamente). Vero o falso?

8. Se un sistema non lineare ha 2 o più stati di equilibrio per lo stesso ingresso costante, nessuno di essi può essere asintoticamente stabile in modo globale. Vero o falso?

Ho provato a rispondere alle tue domande così intanto mi esercitavo, spero siano giuste!

1. Falso: potrebbero essere tutti instabili, come per esempio nel caso della matriceA , a tempo reale (ma in questo caso va bene anke x il discreto)
|2 0|
|0 0|

2. Falso: se si ha un punto di equilibrio globalmente stabile, non si può avere altri punti di equilibrio, neanke in un sistema non lineare, poikè se tu andassi su uno degli altri stati di equilibrio in seguito alla perturbazione iniziale, rimarresti lì e non convergeresti allo stato GAS per t infinito

3. Falso: in un sistema lineare gli stati di equilibrio hanno tutti la stessa proprietà di stabilità

4. Vero: è possibile, purchè non siano globalmente A. S. e siano isolati(per il motivo detto nella 2)

5. Falso: si può avere soltanto l'origine punto di equilibrio stabile, come nel caso della matrice (tempo continuo)
|0 1|
|-1 0|

6. Falso: possono essere tutti stabili, basti pensare a un sistema lineare la cui matrice (tempo continuo) è
|0 0|
|0 -3|

7. Vero: nel caso dei sistemi lineari, gli stati di equilibrio a. s. lo sono anke globalmente e cadremmo nella contraddizione già detta nel caso 2(in questo caso il sistema è lineare ma il ragionamento è lo stesso)

8. Vero: per il motivo detto nel 2.

1) sei er mejo; 2) qualcuno che ha seguito tutte le lezioni potrebbe fare un ricapitolo di tutti gli argomenti che ha fatto (es. raggiungibilità?). Grazie

Niente raggiungibilita sistemi retroazionati.

Per domani 'solo'
risposta permanete
modello linearizzato
funzioni di lypunov
eccitabilita e osservabilita
forse domande su stabilita di sistemi lineari e non lineari

quindi per capire...
un esercizio come il 4 dell'esonero dell'anno scorso (dire se il sistema blah blah blah è raggiungibile) non ci sarà?
giusto?

esatto

ragazzi scrivo un pò di domandine teoriche...chi mi sa rispondere?

1. se un sistema lineare con ingresso nullo ha più di uno stato di equilibrio, tali stati di equilibrio sono certamente tutti stabili. Vero o falso?

2. Un sistema non lineare può avere 3 stati di equilibrio per lo stesso ingresso costante, di cui uno globalmente stabile, uno stabile (non asintoticamente) e uno instabile. Vero o falso?

3. Se in un sistema lineare con u (segnato) = 0 lo stato di equilibrio xe = 0 è stabile, per u (segnato) = 0 ci possono essere altri stati di equilibrio instabili. Vero o falso?

4. Un sistema non lineare può avere 2 stati di equilibrio per lo stesso ingresso costante, entrambi asintoticamente stabili. Vero o falso?

5. Se in un sistema lineare con u (segnato) =0 lo stato di equilibrio xe=0 è stabile ma non asintoticamente, ci sono certamente altri stati di equilibrio con u (segnato) =0. Vero o falso?

6. Se un sistema qualunque (anche non lineare) ha infiniti stati di equilibrio per lo stesso ingresso costante, è impossibile che siano tutti stabili. Vero o falso?

7. Se un sistema lineare con ingresso costante ha infiniti stati di equilibrio, essi sono necessariamente o tutti instabili o tutti stabili (ma non asintoticamente). Vero o falso?

8. Se un sistema non lineare ha 2 o più stati di equilibrio per lo stesso ingresso costante, nessuno di essi può essere asintoticamente stabile in modo globale. Vero o falso?

1)FALSO. Per sistemi lineari ho proprietà globali: Quindi se ho + di 1 stato di equilibrio significa averne infiniti [vedi autospazi!].Quindi o tutti stabili o tutti instabili
2)FALSO. Se è globale allora è unico per sistemi qualsiasi. Puo invece essere presente 1 pt stabile 3 intsabili etc.. ma 1 solo globale.
3)FALSO. Se xe=0 è stabile essendo sistema lineare sono tutti stabili.
4)VERO.
5)VERO.Per sistemi lineari se xe=0 è instabilie significa che non è il solo [infiniti punt].Se fosse stato solo era attrattivo e l'attrattività per lin sys implica la stabilita semplice e quindi l'asintoticità.
6)FALSO.
7)VERO. stesse considerazioni fatte in precedenza
8) FALSO. Ma se c'è nè uno globale deve essere l'unico gli altri localmente possono essere o stabili o instabili.

Secondo Me, la 4 è FALSA. Un sistema lineare può ammettere solo un punto di equilibrio asintoticamente stabile, altrimenti la propietà di attrattività di un p.to di equlibrio verrebbe meno, perchè per t-->8(orizzontale) :lol: l'evoluzione del sistema potrebbe tornare a due diversi p.ti di equilibrio e ciò non è ammesso, infatti per t che tende "all'otto orzontale" il sistema torna all'equilibrio di partenza!

:shock:

Ottima risposta solo che il quesito 4 parla di non lineari...

Scusate ho letto ora che la domanda di teoria n.4 era riferita a sistemi non lineari, allora rettifico:
4) VERA: a patto che i due stati di equilibrio siano isolati.

@Non registrato:

Ok, allora ti ripongo la domanda inziale: se ho un polinomio con tutti coefficenti > 0 o tutti < 0 c'è già la regola di cartesio che mi dice che avrò tutte radici a parte reale negativa... xkè allora uso Routh?? Grassie

please :cry:

5. Se in un sistema lineare con u (segnato) =0 lo stato di equilibrio xe=0 è stabile ma non asintoticamente, ci sono certamente altri stati di equilibrio con u (segnato) =0. Vero o falso?

5)VERO.Per sistemi lineari se xe=0 è stabilie significa che non è il solo [infiniti punt].Se fosse stato solo era attrattivo e l'attrattività per lin sys implica la stabilita semplice e quindi l'asintoticità.

Sei sicuro di questa :?:

Se faccio questa considerazione potrebbe essere FALSA: dipende, a tempo continuo, dalla seguente condizione:
se det(A)=0 ci sono altri stati di equilibrio, invece se det(A)diverso da 0 xe=0 è l'unico stato di equilibrio.

Che ne dici! :roll:

@Non registrato:

Ok, allora ti ripongo la domanda inziale: se ho un polinomio con tutti coefficenti > 0 o tutti < 0 c'è già la regola di cartesio che mi dice che avrò tutte radici a parte reale negativa... xkè allora uso Routh?? Grassie

please :cry:

Probabilemente potrebbero essere anche tutte a parte reale positiva, ovvero la regola di Cartesio ti dice che se nel pol. caratt. non ci sono variazioni di segno, le radici sono tutte dello stesso segno, ma non specifica quale!

ragazzi vi fate per cortesia queste matrici?

http://img48.imageshack.us/my.php?image=matricilv7.jpg

vi dico a me come vengono:

1) stabilità asintotica;
2) stabilità semplice;
3) stabilità semplice;
4) instabilità;
5) instabilità;
6) stabilità asintotica;
7) stabilità semplice;
8) instabilità.

Ricontrolla l'ultima squid, viene con radici complesse di parte reale pari a 1/2.

è un sistema a tempo discreto, devi calcolarti il modulo che viene 2 :P

Probabilemente potrebbero essere anche tutte a parte reale positiva, ovvero la regola di Cartesio ti dice che se nel pol. caratt. non ci sono variazioni di segno, le radici sono tutte dello stesso segno, ma non specifica quale!

No, no assolutamente... La regola di cartesio dice che:

Il numero di radici positive (contato con molteplicità) è dato dal numero di cambi di segno fra due coefficienti consecutivi.
Segue da questo che il numero di radici negative è invece dato dal numero di permanenze di segno di due coefficienti consecutivi.
Fonte: wikipedia

quindi se sono tutti dello stesso segno i coefficenti le radici saranno negative!!!

Vuoi vedere che era come sostenevo io all'inizio?? Cioè che Routh ci serve perchè la regola di Cartesio è valido solo quando il polinomio abbia radici reali? :?

ragazzi vi fate per cortesia queste matrici?

http://img48.imageshack.us/my.php?image=matricilv7.jpg

vi dico a me come vengono:

1) stabilità asintotica;
2) stabilità semplice;
3) stabilità semplice;
4) instabilità;
5) instabilità;
6) stabilità asintotica;
7) stabilità semplice;
8) instabilità.

Ricontrolla l'ultima squid, viene con radici complesse di parte reale pari a 1/2.

è un sistema a tempo discreto, devi calcolarti il modulo che viene 2 :P

il polinomio caratteristico viene: x^2 + x + 4 che ha radici complesse con modulo 0,5... non ti torna?

sì ma devo trovarti il modulo degli autovalori complessi (per i sistemi a tempo discreto) non la parte reale.
Perciò se fai il modulo di quell'autovalore che è: -0,5 +/- 1.9364916731037085 j diventa radice di 4 che è 2 e 2 ha modulo > di 1

sì ma devo trovarti il modulo degli autovalori complessi (per i sistemi a tempo discreto) non la parte reale.
Perciò se fai il modulo di quell'autovalore che è: -0,5 +/- 1.9364916731037085 j diventa radice di 4 che è 2 e 2 ha modulo > di 1

:shock: Mamma che salvata che m'hai dato squid! Questa proprio non la sapevo! :?
Grazie

lo ha detto la prof quando ci ha dato quelle matrici da fare per casa.
"per gli autovalori complessi nel discreto calcolatevi il modulo"

Mi era sfuggita... grazie ancora! 8)

Cmq a quanto pare nessuno conferma e nessuno smentisce il discorso di Routh ancora... Vabbè non è necessario saperlo ai fini dell'esame però x una questione di chiarezza...

ragazzi vi fate per cortesia queste matrici?

http://img48.imageshack.us/my.php?image=matricilv7.jpg

vi dico a me come vengono:

1) stabilità asintotica;
2) stabilità semplice;
3) stabilità semplice;
4) instabilità;
5) instabilità;
6) stabilità asintotica;
7) stabilità semplice;
8) instabilità.

Scusate ma la seconda come l'avete fatta, mi dite il polinomio caratteristico e gli autovalori di A?

5. Se in un sistema lineare con u (segnato) =0 lo stato di equilibrio xe=0 è stabile ma non asintoticamente, ci sono certamente altri stati di equilibrio con u (segnato) =0. Vero o falso?

5)VERO.Per sistemi lineari se xe=0 è stabilie significa che non è il solo [infiniti punt].Se fosse stato solo era attrattivo e l'attrattività per lin sys implica la stabilita semplice e quindi l'asintoticità.

Sei sicuro di questa :?:

Se faccio questa considerazione potrebbe essere FALSA: dipende, a tempo continuo, dalla seguente condizione:
se det(A)=0 ci sono altri stati di equilibrio, invece se det(A)diverso da 0 xe=0 è l'unico stato di equilibrio.

Che ne dici! :roll:

Ok è esatto cio che dici.Anche se in realtà la parola "certamente" non sempre funziona in questi contesti,il quesito suppone xe=0 stabile ma non asintoticamente.Quindi significa che per i sistemi lineari non è garantita l'attrattività.Poichè l'attrattività se verificata implica la stabilità e automaticamente l'asintoticità dire che xe=0 è non asintotico significa che non è l'unico punto.Quindi è uno degli infiniti punti di equilibrio stabili ma non asintoticamente.Ce ne devono stare per forza infiniti altrimenti era il solo e sicuramente asintotico

:?:

la regola di cartesio vale solo se sappiamo a priori che il polinomio ha tutte radici reali... se c'è la possibilità che le radici appartengano all'insieme complesso, la regola di cartesio va a farsi benedire ed entra in gioco routh

ragazzi vi fate per cortesia queste matrici?

http://img48.imageshack.us/my.php?image=matricilv7.jpg

vi dico a me come vengono:

1) stabilità asintotica;
2) stabilità semplice;
3) stabilità semplice;
4) instabilità;
5) instabilità;
6) stabilità asintotica;
7) stabilità semplice;
8) instabilità.

Scusate ma la seconda come l'avete fatta, mi dite il polinomio caratteristico e gli autovalori di A?

gli autovalori di a sono
[code type="markup"]
0
-1/2 + sqrt(3)/2
-1/2 sqrt(3)/2[/code]
facendo il modulo ti verra 1. viene soddisfatta sola la prima condizione