Stavo rivedendo l'esercizio d'esame dato al primo appello, e confrontando la soluzione fornita dai professori, ma mi intoppo in un punto preciso. Temo di commettere uno stupidissimo errore di algebra banale, ma devo essere sincero non riesco proprio a capire dove sia la differenza nella soluzione.
L'esercizio in questione è il primo del compito (quello sul macchinario, per intenderci), per l'esatte il punto ii dell'esercizio (quello sull'intervallo asintotico)
Proverò ad essere chiaro:
Dal punto i dell'esercizio abbiamo ricavato lo stimatore e l'informazione di Fischer:
theta^ = x_n / 10 (con x_n = media campionaria)
I_x(theta) = 10 / [theta * (1 - theta)]
e fin qui nessun problema. Per calcolare l'intervallo di confidenza asintotico, utilizziamo la formula con l'informazione di Fischer funzione dello stimatore (e quindi non quella con IF funzione di theta), in accordo alla soluzione, ottenendo:
I_x(theta^) = 10 / [ (x_n / 10) * ( 1 - (x_n / 10) ) ]
a questo punto, per semplificare, posso moltiplicare per 100 (una volta per 10 per eliminare il primo x_n / 10, e la seconda per l'altro x_n /10 dentro le parentesi) sopra e sotto e ottenere:
I_x(theta^) = 1000 / ( x_n * (10 - x_n ) )
fin qui tutto ok. Il mio intervallo di confidenza dovrà quindi avere come estremi:
[ theta^ - phi( 1 - alpha/2 ) / sqrt (n * Ix(theta^) ) , theta^ + phi( 1 - alpha/2 ) / sqrt (n * Ix(theta^) ) ]
adesso, dai dati del problema so che n = 144 e che x_144 = 1.5 (media campionaria). Quando sostituisco tutti i dati, sotto la radice mi trovo con una moltiplicazione per 10 di troppo per la costante 144. Quello che ottengo sotto la radice è:
sqrt ( 144 * 1000 / (x_144 * (10 - x_144 ) ) ) = 379,5 * sqrt( 1 / (x_144 * (10 - x_144) ) )
invece di:
sqrt ( 144 * 100 / (x_144 * (10 - x_144 ) ) ) = 120 * sqrt( 1 / (x_144 * (10 - x_144) ) )
come viene nella soluzione (ovviamente poi tutto sta al denominatore e si "ribalta" tutto).
Adesso, si vede palesemente che per portare fuori dalla radice quel 120 (poi in realtà è 1/120 ma quello è il minimo), in realtà quel 144 dovrebbe essere moltiplicato per 100, di conseguenza non riesco assolutamente a capire che fine faccia un fattore moltiplicativo di 10 in tutto il procedimento (stando a quanto fatto nella soluzione).
Consiglio vivamente di seguire ciò che dico con la soluzione sotto mano.
Sono abbastanza sicuro di aver commesso qualche errore ridicolo da qualche parte, ma ho rifatto i calcoli una cifra di volte.
Grazie mille
