Olimpia

Invece se bisogna esprimere i gruppi come prodotto di un gruppo ciclico tipo es 8 Foglio 2 anche voi fate cosi':
1) Se p primo Zp*=Zp-1
2) Se p non p primo scrivo Zp*=Zi con tutte le i che hanno mcd =1 ossia primi tra loro (es Z24*=Z8*xZ3*)
3) nella formula precedente i Zpi primi diventano Zp-1 mentre quelli non primi devo vedere che succede...
Ad esempio Z8* non è ciclico ed ha 4 elementi quindi lo scrivo come prodotto di gruppi ciclici il cui prodotto delle cardinalità mi dia 4 ossia Z2xZ2??? Non è che ho capito benissimo quest'ultimo passaggio... Forse bisogna lavorare come hai fatto tu per la curva ellittica?

Per Z8*, devi vedere la cardinalità phi(Z8*), ed è 4.. dato che nessun elemento ha ordine maggiore a 2 (lo controlli in un attimo...), sicuramente è Z2xZ2...

ma forse non è possibile avere dei punti siffatti...per come sono fatte le curve ellittiche (simmetriche rispetto all'asse x...)...due punti con la stessa x avranno o la stessa ordinata y=0 oppure y1=-y2

Dico bene? :?:

Esercizio 3 punto b) del foglio numero 4:
Per esibire tutti i punti il calcolo quanto fà X^3+X+1 per x={1,2,3,4}:

x x^3+x+1
1-->3
2-->1
3-->4
4-->4
Ora considero solo quelli che son quadrati (quindi escludo x=1)
ed ho: (2,1),(2,-1),(3,2),(3,-2),(4,2),(4,-2)
Aggiungo il punto all'infinito e quindi ottengo che i punti sono 6+1=7
Perchè c'è scritto che ce ne sono nove sull'esercizio???

Dove sbaglio?

Mi auto-correggo!! Quello che ho detto dovrebbe essere vero per curve ellittiche in Z e non in Zp o Zn....Confermate? (CONFUSIOOOONE! :lol: :lol: )

Esercizio 3 punto b) del foglio numero 4:
Per esibire tutti i punti il calcolo quanto fà X^3+X+1 per x={1,2,3,4}:

x x^3+x+1
1-->3
2-->1
3-->4
4-->4
Ora considero solo quelli che son quadrati (quindi escludo x=1)
ed ho: (2,1),(2,-1),(3,2),(3,-2),(4,2),(4,-2)
Aggiungo il punto all'infinito e quindi ottengo che i punti sono 6+1=7
Perchè c'è scritto che ce ne sono nove sull'esercizio???

Dove sbaglio?

Devi considerare anche lo zero, la curva è su Z5 e non Z5*...

Mi auto-correggo!! Quello che ho detto dovrebbe essere vero per curve ellittiche in Z e non in Zp o Zn....Confermate? (CONFUSIOOOONE! :lol: :lol: )

Esatto.. in Zp capita! E quando capita è bellissimo.. 800 calcoli in meno! :wink:

Grazie 10 tanto troppo arale

ordine in base 2... cioè, quando si annulla modulo 2!

mmmm lo sai che non riesco ad afferrare il concetto?
ma l'ordine di un numero (considerandolo in modulo n) non è
quell'm tale che x^m=e (elemento neutro) (mod n)

cioè continuo a non capire quell'ord2 :lol:
cioè me so rincojonito, lo so, ma mi fate un esempio numerico dell'esercizio 3b o 3c foglio 5

forse dovrei prendermi una pausa

mmmm lo sai che non riesco ad afferrare il concetto?
ma l'ordine di un numero (considerandolo in modulo n) non è
quell'm tale che x^m=e (elemento neutro) (mod n)

cioè continuo a non capire quell'ord2 :lol:
cioè me so rincojonito, lo so, ma mi fate un esempio numerico dell'esercizio 3b o 3c foglio 5

forse dovrei prendermi una pausa

Io, non so perchè, l'ho interpretato come ordine sull'addizione, allora l'elemento neutro è zero, però.. in effetti così non mi viene!

E per l'esercizio 4 foglio 5? Qualcuno è riuscito a dimostrarlo?

Non resta che augurarvi un in bocca al lupo.... :lol: :lol:

Perchè, Tony... tu non lo fai?

Certo che lo faccio!!! Dopo un full-immersion del genere si diventa tutti un pò più altruisti.... :wink:

Allora in bocca al lupo anche a te!

E per l'esercizio 4 foglio 5? Qualcuno è riuscito a dimostrarlo?

proviamo un pò
allora prima dimostriamo il viceversa

in Z2^k*, se un elemento x è congruo a 1 modulo 8, allora questi è quadrato

un qualsiasi insieme Z2^k* può essere visto come un insieme di elementi
{1+8i, 3+8i, 5+8i, 7+8i} dove i varia tra 0 e k-3

praticamente tutti i numeri dispari da 0 a 2^k-1

ora l'unico elemento x=1 (mod 8) è 1+8i
è facilmente osservabile che questo elemento è quadrato dell'i-esimo elemento
infatti ogni elemento dell'insieme può anche essere scritto come
{1+2j : 0<=j<=2^(k-1)}
infatti
(1+2i)^2= 1 + 4i + 4i^2 = n (mod 2^(3+i))
per i = 0
abbiamo che 1 = 1 mod (8) che sappiamo appartenere all'insieme Z8*
per i = 1
abbiamo che 3*3 = 9 mod (16) che sappiamo appartenere all'insieme Z16*
sappiamo inoltre che 2^(3+i) >> 4*i^2 >> 4i
quindi 2^(3+i) non dividerà mai questi questi due numeri
ed inoltre che
2^(3+i)>1+4*i^2+4*i per ogni i (ma questo sinceramente non saprei come dimostrarlo, poi sto cercando di far riposare la mente)

considerando che 1 + 4i + 4i^2 è sempre un numero dispari (spero non ci sia bisogno di dimostrarlo), per quanto detto sopra, l'elemento (1+2i)^2 è sempre contenuto nell'insieme Z2^k con i = k-3

mmmm non lo so se ho tempo per dimostrare l'altro verso, però magari si fa uscire un'idea al volo

dimenticate quello che ho scritto
ho il cervello fuso

non lo so neanche io che cavolo ho dimostrato alla fine
perdonate ops:

Come è andata!?

Non dovrebbe essere andata male.. a voi?

Non dovrebbe essere andata male.. a voi?

Benone: sono rimasto a casa!

credo bene....Una curiosità: ma i compiti erano uguali?

Chi aveva l'esercizio in cui si doveva far vedere che i divisori di n^2+1 sono tutti 1 mod 4....?

credo bene....Una curiosità: ma i compiti erano uguali?

Chi aveva l'esercizio in cui si doveva far vedere che i divisori di n^2+1 sono tutti 1 mod 4....?

C'erano 2 file di cmpiti, ma quell'esercizio era lo stesso per tutti..

Io l'ho fatto a metà! :lol: