Olimpia

Scusate, è una cavolata ma non ricordo bene e non riesco a trovarla sugli appunti... se ho un punto P=(x, y), come è il punto -P? E' (x, -y)?

Sì

Ok.. mi sorgeva il dubbio perchè nell'esercizio 1 del foglio 4, mi esce fuori P+(-Q)=0...

vabbeh, grazie!

Ok.. mi sorgeva il dubbio perchè nell'esercizio 1 del foglio 4, mi esce fuori P+(-Q)=0...

vabbeh, grazie!

Sì, anche a me viene così :wink:

Ho concluso che il punto all'infinito non viene solo quando si sommano punti con ordinata opposta.

E dell'esercizio 2, sempre foglio 4, quanto ti viene l'ordine di P (punto a)?
A me 9...

Il punto (0,0) non è il punto all'infinito!
P-Q = (0,0)
Anche negli esempi di Schoof nella tabella c'era una colonna per infinito ed una per il punto (0,0)!!

Sei sicuro? Allora l'ordine di (0,0) non è 1???

Sì, ha ragione lionel. Non è assolutamente il punto all'infinito

E allora qual è l'ordine del punto (0, 0)? E' 2?

Esercizio numero 7, Foglio 1

(Numeri di Fermat) Per ogni numero naturale n, si definisce l'ennesimo numero di Fermat come F(n)=2^2^n+1;
(a) Dimostrare: se 2^m+1 è primo, allora m è potenza di 2;
(b) Far vedere che F(n) è primo per 1<=n<=4;

(a) Dobbiamo dimostrare che se 2^m+1 è primo allora m è potenza di 2 ovvero m = 2^k per qualche k
Per assurdo ipotizziamo che m non sia potenza di due, dobbiamo considerare due casi diversi
(a.1) m è un primo diverso da 2
(a.2) m non è primo

(a.1) Possiamo dimostrare che per ogni primo m!=2, 2^m+1 è divisibile per 3, o equivalentemente che 2^m+1 è congruo 0 (mod 3) o che equivalentemente 2^m è congruo -1 (mod 3)
Allora un numero s modulo 3 può essere congruo a -1, 0 o +1
è facile dimostrare che 2^m, per un qualsiasi m (primo o non) non sarà mai congruo a 0 modulo 3
infatti 2^m può essere scritto come prodotto di 2
2^m= 2*..-m volte-..*2
facendo modulo 3 questo prodotto può essere scritto come prodotti di -1
2^m (mod 3) = -1*..-m volte-..*-1=(-1)^m
e per ogni m primo (diverso da due, e quindi m dispari) (-1)^m=-1
quindi abbiamo dimostrato che 2^m+1 (mod 3) è congruo a 0, ma noi abbiamo premesso che 2^m+1 sia primo
(nel caso in cui qualcuno ha il dubbio che 2^m+1 possa essere uguale a 3, rendendo vera la definizione che 2^m+1 (primo) (mod 3) sia congruo a 0, questa è vera solo per m=1 che ovviamente non è un numero primo)
quindi abbiamo dimostrato che per (a.1) ci stavamo sbagliando e che m non possa essere un numero primo diverso da 2

(a.2)
Ora ipotizziamo per assurdo che m sia un numero non primo
Possiamo scrivere che esistono p,q numeri primi
tali che m=p*q AND MCD(p,q)=1

Quindi possiamo scrivere:
F(m)=2^m+1=2^(p+q)+1
e, come per l'esercizio precedente
F(m)=(2^q)^p+1 (mod p) è congruo 3
F(m)=(2^p)^q+1 (mod q) è congruo 3
Per il teorema cinese del resto possiamo scrivere che
F(m)=2^m+1 (mod p*q=m) sia congruo 3
o equivalentemente
2^m-2=2(2^(m-1)-1) (mod m) sia congruo 0
ma questa è vera solo per m primo, e quindi contraddiciamo la nostra ipotesi assurda

Ora avendo dimostrato che le nostre due ipotesi (a.1) e (a.2) sono assurde e contraddicono la premessa, abbiamo dimostrato che
2^m+1 primo implica m è una potenza di 2

(b)
Per far vedere che F(n) è primo per 1<=n<=4, basta fare dei semplici calcoli
F(1) = 2^2^1+1=5
F(2) = 2^2^2+1=17
F(3) = 2^2^3+1=257
F(4) = 2^2^4+1=65537
è facile dimostrare con un Trial Divsion che gli ultimi 2 sono primi

In quella curva è 2 perchè y=0.
Due punti hanno ordine 2 se la loro ordinata è nulla!

Perchè (-0) = 0

In quella curva è 2 perchè y=0.
Due punti hanno ordine 2 se la loro ordinata è nulla!

Scusate, volevo dire "un punto ha ordine 2 se la sua ordinata è nulla"!

Non vale per qualsiasi curva che l'ordine del punto (0, 0) è 2???

Non vale per qualsiasi curva che l'ordine del punto (0, 0) è 2???

si certo perchè λ verrà sempre pari a infinito visto che a denominatore nella formula si ha 2y, se y=0 1/y è infinito

Secondo voi, si può fare che se 3P=(0,1) e so che l'ord di (0,1) è 4, allora l'ordine di P è 12(=3*4)?

E poi, altro dubbio, esercizio 2 foglio 4 punto b, le due curve hanno la stessa A.. perciò i punti in Z3 hanno lo stesso ordine.. no?

si certo perchè λ verrà sempre pari a infinito visto che a denominatore nella formula si ha 2y, se y=0 1/y è infinito

Grazie!

E poi, altro dubbio, esercizio 2 foglio 4 punto b, le due curve hanno la stessa A.. perciò i punti in Z3 hanno lo stesso ordine.. no?

secondo me FALSO
la prima curva non ha punti dato che Y^2 viene -1 per qualsiasi x appartenente a Z3.
quale punto ^2 da -1 in Z3?

sì, hai ragione, ci sono arrivata desso adesso che avrei anche dovuto calcolare i punti che soddsfano la curva.. nella prima c'è solo l'infinito, giusto?

Esercizio numero 8, foglio 1

Si consideri la funzione φ di Eulero. Dimostrare la formula di Gauss:
Σ φ(d)=n per ogni d: d divisore positivo di n

Due casi:
(a) n numero primo
n è divisibile solo per n e per 1
quindi dobbiamo dimostrare che φ(n)+φ(1)=n
per ipotesi sappiamo che φ(1)=1
inoltre sappiamo che φ(n)=n-1
quindi n=φ(n)+φ(1)=n-1+1=n
dimostrato

(b) n numero composto
Esistono p,q numeri primi tali che n=p*q e MCD(p,q)=1
Quindi n è divisibile per n=p*q, p, q e 1
quindi n=p*q=φ(n)+φ(p)+φ(q)+φ(1)
φ(1)=1
φ(n=p*q)=φ(p)*φ(q) (poichè MCD(p,q)=1)
φ(p)=p-1 (p primo)
φ(q)=q-1 (q primo)
n=p*q=φ(n)+φ(p)+φ(q)+φ(1)=φ(p)*φ(q)+φ(p)+φ(q)+φ(1)
=(p-1)(q-1)+(p-1)+(q-1)+1=p*q-p-q+1+p-1+q-1+1=p*q che è uguale a n per definizione
dimostrato