TEN 2007

arale ha scritto:

E per l'esercizio 4 foglio 5? Qualcuno è riuscito a dimostrarlo?

proviamo un pò
allora prima dimostriamo il viceversa

in Z2^k*, se un elemento x è congruo a 1 modulo 8, allora questi è quadrato

un qualsiasi insieme Z2^k* può essere visto come un insieme di elementi
{1+8i, 3+8i, 5+8i, 7+8i} dove i varia tra 0 e k-3

praticamente tutti i numeri dispari da 0 a 2^k-1

ora l'unico elemento x=1 (mod è 1+8i
è facilmente osservabile che questo elemento è quadrato dell'i-esimo elemento
infatti ogni elemento dell'insieme può anche essere scritto come
{1+2j : 0<=j<=2^(k-1)}
infatti
(1+2i)^2= 1 + 4i + 4i^2 = n (mod 2^(3+i))
per i = 0
abbiamo che 1 = 1 mod ( che sappiamo appartenere all'insieme Z8*
per i = 1
abbiamo che 3*3 = 9 mod (16) che sappiamo appartenere all'insieme Z16*
sappiamo inoltre che 2^(3+i) >> 4*i^2 >> 4i
quindi 2^(3+i) non dividerà mai questi questi due numeri
ed inoltre che
2^(3+i)>1+4*i^2+4*i per ogni i (ma questo sinceramente non saprei come dimostrarlo, poi sto cercando di far riposare la mente)

considerando che 1 + 4i + 4i^2 è sempre un numero dispari (spero non ci sia bisogno di dimostrarlo), per quanto detto sopra, l'elemento (1+2i)^2 è sempre contenuto nell'insieme Z2^k con i = k-3

mmmm non lo so se ho tempo per dimostrare l'altro verso, però magari si fa uscire un'idea al volo

dimenticate quello che ho scritto
ho il cervello fuso

non lo so neanche io che cavolo ho dimostrato alla fine
perdonate

Come è andata!?

Non dovrebbe essere andata male.. a voi?

arale ha scritto:

Non dovrebbe essere andata male.. a voi?

Benone: sono rimasto a casa!

credo bene....Una curiosità: ma i compiti erano uguali?

Chi aveva l'esercizio in cui si doveva far vedere che i divisori di n^2+1 sono tutti 1 mod 4....?